先物価格

概要

先物価格（フォワード・プライス、または先物レートと呼ばれることもある）は、先物取引において合意された資産の価格である。合理的価格付けの仮定を用いると、取引可能な原資産に対する先物契約の場合、先物価格はスポット価格と配当を用いて表すことができる。取引不可能な資産の先物の場合、先物価格の算出は複雑な作業となる場合がある。

先物価格の公式

原資産が取引可能であり、配当が存在する場合、先物価格は次式で与えられる：

F =

S

0

e

( r − q ) T

−

∑

i = 1

N

D

i

e

( r − q ) ( T −

t

i

)

{\displaystyle F=S_{0}e^{(r-q)T}-\sum _{i=1}^{N}D_{i}e^{(r-q)(T-t_{i})}\,}

ここで

F

先物価格の公式の証明

ここでの2つの疑問は、売り手（ショート・ポジション）が自身の利益を最大化するためにどのような価格を提示すべきか、そして買い手（ロング・ポジション）が自身の利益を最大化するためにどのような価格を受け入れるべきかという点である。 少なくとも、双方が取引で損失を出したくないということは分かっている。 ショート・ポジションはロング・ポジションと同等の情報を有している。すなわち、ショートおよびロングの両者は、特定の先物価格の下で利益を得るために参加できるいかなるスキームについても認識している。 したがって、当然ながら彼らは公正な価格で合意に至る必要がありさもなければ取引は成立しない。 経済的な表現にすると以下のようになる：

（公正価格 ＋ 資産の配当の将来価値） − 資産のスポット価格 ＝ 資本コスト 先物価格 ＝ スポット価格 − キャリーコスト その資産の配当（これは債券のクーポン、家の毎月の賃料、作物の果実などでもよい）の将来価値は、リスクフリーの利力を用いて計算される。これは我々がリスクフリーの状況にいるためである（先物契約の最大の目的はリスクを取り除くこと、あるいは少なくとも軽減することである）。したがって、なぜ資産の所有者がリスクを冒す必要があるだろうか？彼はリスクフリーレート（すなわち、リスクフリーとみなされる米国の国債）で再投資するであろう。 資産のスポット価格は、先物契約が締結されたその瞬間の市場価値にほかならない。 したがって、「OUT（外） − IN（中） ＝ 純利益」となり、彼の純利益は、その期間資産を保有し続けた機会費用（資産を売却し、その資金をリスクフリーレートで運用できたはずの費用）からしか生じ得ない。 と置く

K = 公正価格 C = 資本コスト S = 資産のスポット価格 F = 資産の配当の将来価値 I = Fの現在価値（r で割り引いたもの） ร = 連続複利による無リスク金利 T = 契約締結からの期間 公正価格について解き、数式を代入すると次式が得られる：

K = C + S − F

{\displaystyle K=C+S-F\,}

ここで：

C = S (

e

r T

− 1 )

{\displaystyle C=S(e^{rT}-1)\,}

（なぜなら

e

r T

= 1 + j

{\displaystyle e^{rT}=1+j\,}

ここで、j は T の期間ごとの実効金利である）

F =

c

1

先物価格と先物取引（フューチャーズ）価格の比較

金利が確率的である場合、先物価格（フォワード）と先物取引価格（フューチャーズ）の間には違いが存在する。この違いは、金利が決定論的である場合には消失する。 確率プロセスの言語では、先物価格はフォワード・メジャーの下でマルチンゲールであり、一方、先物取引価格はリスク中立確率測度の下でマルチンゲールである。金利が決定論的である場合、フォワード・メジャーとリスク中立確率測度は同一のものとなる。

関連項目

先物レート フォワード・メジャー 利便性利回り キャリーコスト バックワーデーション コンタンゴ

参考文献

Binomial Models in Finance - van der Hoek & Elliott Martingale Methods in Financial Markets - Musiela & Rutkowski