變異數交換

概述

變異數交換是一種櫃檯買賣（OTC）金融衍生性商品，可用於投機或避險與某種標的商品（如匯率、利率或股價指數）變動幅度（即波動率）相關的風險。 交換的一方將支付基於標的商品價格變動之已實現變異數的金額。傳統上，這些價格變動將是基於最常使用的收盤價之每日對數報酬率。交換的另一方則支付固定金額，即交易開始時所報出的履約價。因此，交易對手之間的淨收益將是兩者之差，並將在交易到期時以現金結算，不過在交易過程中，某一或另一方對手可能會支付一些現金，以維持商定的保證金。

結構與特徵

變異數交換的特徵包括：

變異數履約價 已實現變異數 vega 名目本金：和其他交換一樣，收益是根據從未交換的名目本金來決定的。然而，在變異數交換的情況下，名目本金是以 vega 來指定的，以便將收益轉換為美元金額。 變異數交換的收益給定如下：

N

var

(

σ

realised

2

−

σ

strike

2

)

{\displaystyle N_{\operatorname {var} }(\sigma _{\text{realised}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2})}

其中：

N

var

{\displaystyle N_{\operatorname {var} }}

= 變異數名目本金（又稱變異數單位），

σ

定價與評價

變異數交換可以使用一組歐式買權與賣權組合進行避險並因此定價，其權重與履約價平方成反比。 因此，任何可對香草選擇權定價的波動率微笑模型皆可用於對變異數交換定價。例如，使用黑斯頓模型（Heston model），可以為公平變異數交換利率推導出封閉形式解。必須小心處理微笑模型在翼端的行為，因為這會對價格產生不成比例的影響。 我們可以使用伊藤 lemma 推導變異數交換的收益。我們首先假設標的股票描述如下：

d

S

t

S

t

= μ

d t + σ

d

Z

t

{\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ =\mu \,dt+\sigma \,dZ_{t}}

應用伊藤公式，我們得到：

d ( log ⁡

S

t

) =

(

μ −

σ

以離散取樣對變異數交換進行分析定價

在評估變異數履約價時，人們可能會發現如先前定義之已實現變異數的離散取樣，即

σ

realized

2

{\displaystyle \sigma _{\text{realized}}^{2}}

更為實用，因為實際上我們只能在時間上離散地觀察標的價格。這更具說服力，因為有人斷言

σ

realized

2

{\displaystyle \sigma _{\text{realized}}^{2}}

隨著價格觀測次數的增加，會在機率上收斂到實際值。 假設在具有鞅測度

Q

{\displaystyle \mathbb {Q} }

的風險中立世界中，標的資產價格

S = (

S

t

)

0 ≤ t ≤ T

{\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}

用途

許多交易員發現變異數交換因其純粹性而有趣或有用。另一種對波動率進行投機的方法是使用選擇權，但如果人們只對波動率風險感興趣，這項策略將需要不斷的 delta 避險，以便大體上消除標的證券的方向風險。再者，變異數交換的複製組合將需要整條選擇權鏈，執行成本會非常高。最後，人們經常會發現需要定期展期這整條選擇權鏈，使其保持在目前標的證券價格的中心。 變異數交換的優點在於它們提供對標的價格波動率的純粹曝險，而不像可能帶有方向風險（delta）的買權與賣權。變異數交換的損益直接取決於已實現波動率與隱含波動率之間的差異。 另一個可能吸引投機者的方面是，所報的履約價是由選擇權市場中的隱含波動率微笑決定的，而最終收益將基於實際的已實現變異數。從歷史上看，隱含變異數一直高於已實現變異數，這種現象被稱為變異數風險溢酬，這為波動率套利創造了機會，在本例中稱為滾動空頭變異數交易。出於同樣的原因，這些交換可用於對已實現變異數的選擇權進行避險。

相關工具

密切相關的策略包括勒式組合、波動率交換、相關性交換、伽瑪交換、條件變異數交換、走廊變異數交換、遠期起益變異數交換、已實現變異數選擇權以及相關性交易。