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隨機漫步

随机游走（英語：Random Walk，縮寫為 RW），是一种數學統計模型，它是一連串的軌跡所組成，其中每一次都是随机的。它能用來表示不规则的变动形式，如同一个人酒后乱步，所形成的随机过程記錄。1905年，由卡尔·皮尔逊首次提出。

概述

随机游走（英語：Random Walk，縮寫為 RW），是一种數學統計模型，它是一連串的軌跡所組成，其中每一次都是随机的。它能用來表示不规则的变动形式，如同一个人酒后乱步，所形成的随机过程記錄。1905年，由卡尔·皮尔逊首次提出。隨機漫步可以在各種空間上進行：通常研究的包括圖，整數或實數線，向量空間，曲面，高維的黎曼流形，以及群，有限生成群或李群。在最簡單的情況中，時間是離散的，隨機漫步的路徑為一個由自然數索引的隨機變量序列(Xt) = (X1, X2, ...)。但是，也可以定義在隨機時間採取步驟的隨機遊走，在這種情況下，必須定義Xt的所有時間t ∈ [0,+∞)。通常，我們可以假設隨機漫步是以马尔可夫链或馬可夫過程的形式出現，但是比較複雜的隨機漫步則不一定以這種形式出現。在某些限制條件下，會出現一些比較特殊的模式，如擴散作用的模型布朗運動，醉漢走路（drunkard's walk）或萊維飛行。隨機漫步在各個領域有許多應用，例如在工程學和許多科學領域，包括生態學，心理學，計算機科學，物理，化學，生物學以及經濟學。在數學中，我們可以用个体为本模型的隨機漫步來估算π的值。它可以用來模擬分子在液體或氣體中傳播時的路徑，覓食動物的搜索路徑，波動的股票價格和賭徒的財務狀況。在这些领域中，隨機遊走可以用来解釋許多觀察到的现象，因此它是記錄隨機活動的基本統計模型。

點陣隨機漫步

一種較常見的模型是在规则點陣上的随机漫步。在每一步中，標記的位置根据特定的概率分布從一點跳到另一個點。在简单随机漫步中，每一點只能跳到點陣中的相邻位置，形成點陣路徑。在一個局部有限點陣上的简单对称随机游走，跳到其每个直接相鄰的位置的概率是相同的。最被廣泛研究的例子是『d』維整数點陣

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}

（有时称为超立方格）上的随机游走. 如果状态空间的大小是有限的，则在此空間上的随机游走模型称为简单边界对称随机游走。在此情況下，移動的概率取决于當前的位置，因为在边缘和角落状态下移动是受制的。例如，若當前位置在邊緣上，則不能向邊緣的外側移動（概率為零）。

一維隨機漫步

一個簡單的隨機漫步的例子是在整數

{\displaystyle \mathbb {Z} }

軸上的隨機漫步。它從0開始，然後每一步以相同的概率移動+1或−1。實際操作如下：我們首先在0的位置放上一個標記，然後擲一枚公平硬幣。若頭朝上，則將標記向右移動一個單位；反之將標記向左移動一個單位。五次翻转后，标记现在可能在1,-1,3,-3,5或-5的位置。若五个翻转中得到三个头和两个尾，不管任何顺序，標記都會落在1。一共有10种方式落在1（三个头和两个尾），10种方式落在-1（三个尾和两个头），5种方式落在3（4个头和1个尾），5种方式落在-3（4个尾和1个头），1种方式5（5个头），以及一种方式落在-5（五个尾）。下图列出了5次翻转後的所有可能结果。

要正式定义此路徑，我們采用独立的随机变量

, …

{\displaystyle Z_{1},Z_{2},\dots }

, 每一個變量分別有50%的概率為1或−1。設

= 0

{\displaystyle S_{0}=0\,\!}

，

作爲馬爾可夫鏈

一維上的'隨機漫步也可以看作一個马尔可夫链，其状态空间由整数

i = 0 , ± 1 , ± 2 , … .

{\displaystyle i=0,\pm 1,\pm 2,\dots .}

給出。若數字p滿足

0 < p < 1

{\displaystyle \,0<p<1}

, 转移概率（從狀態i移動到狀態j的概率Pi,j）為

i , i + 1

= p = 1 −

i , i − 1

{\displaystyle \,P_{i,i+1}=p=1-P_{i,i-1}.}

在更高的維度上

在更高的维度中，随机行走点集具有一些特別的的几何属性。我們得到一個離散的分形，它一个在很大的尺度上有著隨機的自相似特性。在小尺度上，可以观察到因點陣的形狀产生的锯齿。下面引用的两本勞勒(Lawler)的书裏有不少關於這個这个主题的资料。若我們忽略到達每一点的時間，那麽随机游走的轨迹就是所有曾經到達的点的集合。在一维中，隨機漫步的轨迹就是最小高度和最大高度之间的所有点（平均來講，兩者均爲

{\displaystyle {\sqrt {n}}}

階）。二維平面上的隨機漫步可以想象為一个人在城市中随机行走。这个城市的大小是无限的，並由一个方形的人行道网格組成。在每个十字路口，该人随机选择四条可能路线中的一条（包括最初來的那條路）。這是在整數平面上所有點的一個隨機漫步。这个人会不会回到原来的步行起点？在二維平面上，該問題與上文中的平交道问题相當。 1921年波利亞·哲爾吉证明了這在二维随机游走中几乎必然会發生，但对于3维或更高维度，返回原点的概率随着维数的增加而减少。在3个维度中，這個概率降低到大约34％。随着步数的增加，二维随机游走的渐近函数遵從瑞利分布。概率分布是距离原点的半径的函数，并且每一步的步长是恒定的。

P ( r ) =

2 r

−

{\displaystyle P(r)={\frac {2r}{N}}e^{-r^{2}/N}}

与维纳过程的关系

維納過程是一個隨機過程，它與布朗運動，也就是微小顆粒在流體中擴散的現象有相似之處。（布朗運動是物理現象，而維納過程是模擬該現象的模型。由於概念上的混淆，有時維納過程也被稱爲“布朗運動”）維納過程是一維空間上隨機漫步的縮放限制。這意味著我們可以用步長非常小的隨機漫步來模擬維納過程。更确切地講，如果步长是ε，而我們想要近似维纳长度L，则需要走一段長度爲L/ε 2 的距離。随着步长趋于0，步数成比例地增加，随机游走將在一定意義上意义收敛到维纳过程。嚴格來説，如果“B”是所有长度为“L”的具有最大拓扑的路径的空间，并且如果“M”是具有范数拓扑“B”的度量空间，那么它將收敛在空间M。类似地，在多個维度上的维纳过程是在相同维数的随机游走的缩放限制。

在二维上，一個随机游走在其轨迹的边緣上具有的平均点数是r 4/3 。这與维纳过程轨迹的边界是维数4/3的分形的事實相應。曼德博使用模拟的方式预测了這一點，但仅在2000年被勞勒，施拉姆和沃纳證明。维纳过程有著许多随机游走没有的对称。例如，維納过程的漫步对于旋转是不变的，但是随机游走不是這樣的，因为它行走的网格沒有這樣的對稱。（随机游走对旋转90度是不变的，但維納过程对任何角度的旋转都不变，例如17度）。这意味着，如果我們有一個随机游走的问题，在许多情况下可以将它们转换为维纳过程，解决问题，然后再轉換回來。另一方面，由于它的离散性，一些问题更容易通過随机游走來解决。随机游走和维纳过程可以被耦合，即以相依的方式表现在相同的概率空间上，迫使它们非常接近。最简单的耦合是Skorokhod嵌入，而更精确的耦合有Komlós-Major-Tusnády逼近定理。随机游走向维纳过程的收敛由中心极限定理和唐斯科定理控制。对于在t = 0時已知固定位置的粒子，中心极限定理告诉我们，在随机游走中的許多独立步骤之后，步行者的位置的分佈遵循总方差的正态分布：

δ t

{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {t}{\delta t}}\,\varepsilon ^{2},}

其中t是自随机游走开始以来经过的时间，

{\displaystyle \varepsilon }

是随机游走的步长，而

δ t

{\displaystyle \delta t}

是两个连续步骤之间经过的时间。这对应了控制维纳过程的扩散方程的格林函数，表明在大量的步骤之后，随机游走逐漸向维纳过程收敛。在三維空間中，对应于扩散方程的格林函数的方差是：