布莱克-舒尔斯模型

概述

布莱克-舒尔斯模型（英語：Black-Scholes Model），简称BS模型，是一种数学模型，用來为衍生性金融商品中的選擇權定价，由美国经济学家麥倫·休斯與費雪·布萊克首先提出。此模型適用於沒有派發股利的歐式選擇權。罗伯特·C·墨顿其後修改了數學模型，使其於有派發股利時亦可使用，新模型被稱為布萊克-休斯-墨頓模型（英語：Black–Scholes–Merton model）。 此模型的應用是透過買賣價格過高或是過低的選擇權，並同時與持有的資產對沖，來消除可能潛在的風險，並因此而套利。此方法也被稱為「動態 Delta中性」。此公式问世后带来了選擇權市场的繁荣，並且也是在投資銀行與對沖基金中被廣為使用的基礎模型。 雖然在很多情况下被使用者进行一定的改動和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格，然而也有会出现差异的时候，如著名的「波動率的微笑」。然而它假設價格的變動，會符合常態分配（即俗稱的鐘形曲線），但在金融市場上經常出現符合统计学厚尾現象的事件，這影響此公式的有效性。 1997年，休斯和墨顿借该模型获得諾貝爾經濟學獎。布萊克不幸在1995年離世，因此未能獲獎。

重要假设

BS模型假設金融市場存在最少一種風險資產（如股票）及一種無風險資產（現金或債券）。 假設金融資產是：

無風險資產的投資回報是不變的，此回報率稱作无风险利率 股票價格遵從几何布朗运动（隨機漫步） 股票在選擇權有效期内不分派紅利 股票價格服从对数常態分配，即金融資產的对数收益率服从常態分配 假設金融市場是：

不存在套利機會 能以无风险利率借出或借入任意數量的金錢 能買入及賣出（沽空）任意數量的股票 市场无摩擦，即不存在交易税收和交易成本 此外，假設選擇權是欧式選擇權，即只可在特定日期行权。

符號

V(S,t)：歐式期權的理論价格 C(S,t)：認購期權的价格 P(S,t)：認沽期權的价格 ln()：自然對數 K：交割价格 S：即期價格（Spot） τ：有效期 T：到期日 t：時間，以年為單位，例如0.5代表6個月

τ = T − t

{\displaystyle \tau =T-t}

r：连续复利计无风险利率

σ

2

{\displaystyle \sigma ^{2}}

：年度化方差 N()：常態分佈变量的累积分布函数

N ( x ) =

1

2 π

∫

− ∞

x

e

−

z

2

/

2

布萊克-休斯方程

對於有效期內不派發紅利的歐式選擇權，其價格遵從以下偏微分方程：

∂ V

∂ t

+

1 2

σ

2

S

2

∂

2

V

∂

S

2

+ r S

∂ V

∂ S

− r V = 0

{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}

公式

利用以下约束条件，可解認購期權（Call Option）的理論值。

C ( 0 , t )

= 0

for all

t

C ( S , t )

→ S

as

S → ∞

C ( S , T )

= max { S − K , 0 }

{\displaystyle {\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\rightarrow S{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}

認購期權的理論價格是：

C ( S , t ) = N (

d

1

) S − N (

d

2

) K

派发股利的選擇權定价模型

布莱克-舒尔斯模型假定在期權有效期内标的股票不派发股利。若派发股利需改用布萊克-休斯-墨頓模型，其公式如下：

C = S ×

e

− k × t

× N (

d

1

) −

e

− r × T

× L × N (

d

2

)

{\displaystyle \displaystyle C=S\times e^{-k\times t}\times N(d_{1})-e^{-r\times T}\times L\times N(d_{2})}

其中：

d

1

=

ln

關聯項目

金融工程學 金融數學 瓦西塞克模型 Cox–Ingersoll–Ross model 長期資本管理公司

外部連結

The Black–Scholes Model （页面存档备份，存于互联网档案馆）, global-derivatives.com Black, Merton, and Scholes: Their work and its consequences （页面存档备份，存于互联网档案馆）, by Ajay Shah The Black–Scholes Option Pricing Model （页面存档备份，存于互联网档案馆）, optiontutor