赫爾-懷特模型

概述

金融數學中、赫爾-懷特模型（英：Hull-White model）、是利率模型的一種。此模型中、為了把未來利率的變動變換成數學上較簡潔的Lattice model，將利率當作百慕達選擇權（選擇權存續期間中設定複數個期間，在這些期間可以執行的選擇權），以此便能將利率的變動價值以選擇權模評價型來評價。 赫爾-懷特模型的原型是由約翰·赫爾和艾倫·懷特 在1990年發表的，此模型今日仍經常實際在市場上使用。

模型構成

單一要素模型 此模型假設短期利率服從下面的隨機微分方程式：

d r ( t ) =

{

θ ( t ) − α ( t ) r ( t )

}

d t + σ ( t ) d W ( t )

{\displaystyle dr(t)=\left\{\theta (t)-\alpha (t)r(t)\right\}dt+\sigma (t)dW(t)}

然而不論哪個變數都可以假定跟時間相關，因此依對各變數的假設，一般實務上作以下的區別：

θ 是常數 ─ 瓦西塞克模型 θ 是跟時間相關的變數 ─ 即赫爾·懷特模型 θ 還有 α 都是跟時間相關的變數 ─ 赫爾-懷特模型對瓦西塞克模型，又稱為擴展瓦西塞克模型。 雙要素模型 雙要素赫爾-懷特模型 (Hull 2006，第657–658頁) 假設利率的變動服從以下的隨機過程:

d

f ( r ( t ) ) =

[

θ ( t ) + u − α ( t )

f ( r ( t ) )

]

d t +

σ

1

( t )

d

以此模型評價債券

現在時刻為 S ，到期日為 T 的債券折現價格為：（需注意此模型具有仿射期限結構）

P ( S , T ) = A ( S , T )

e

− B ( S , T ) r ( S )

{\displaystyle P(S,T)=A(S,T)e^{-B(S,T)r(S)}}

且

B ( S , T ) =

1 −

e

− α ( T − S )

α

{\displaystyle B(S,T)={\frac {1-e^{-\alpha (T-S)}}{\alpha }}}

A ( S , T ) =

P ( 0 , T )

P ( 0 , S )

exp ⁡ (

{\displaystyle A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}}\exp(}

− B ( S , T )

∂ log ⁡ ( P ( 0 , t ) )

d t

選擇權價格的評價

將到期日為S的債券作為基準財，依格賽若夫定理、時刻 S 時具有收益 V(S) 在時刻 t 的價值 V(t) 以下面的公式計算：

V ( t ) = P ( t , S )

E

S

[ V ( S )

|

F

( t ) ]

{\displaystyle V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)|{\mathcal {F}}(t)]}

這邊的

E

S

{\displaystyle \mathbb {E} _{S}}

是以在時刻S時的風險中立測度所計算的附條件機率期待值。並且依一般的風險中立理論，可得在時刻 T 時有收益 V(T) 遠期契約價格

F

V

( t , T )

{\displaystyle F_{V}(t,T)}

滿足

F

樹狀圖

然而利率上限選擇權與利率交換選擇權等較為單純的金融商品，通常作為波動校正係數的測量。此模型真正的用處，是用來評價在樹狀圖上表示方式相當複雜，如百慕達選擇權這類的新奇選擇權的評價。

關聯項目

金融工程學 金融數學 瓦西塞克模型 Cox–Ingersoll–Ross model

参考文獻

John Hull and Alan White, "Using Hull-White interest rate trees," Journal of Derivatives, Vol. 3, No. 3 (Spring 1996), pp 26-36 John Hull and Alan White, "Numerical procedures for implementing term structure models I," Journal of Derivatives, Fall 1994, pp 7-16 John Hull and Alan White, "Numerical procedures for implementing term structure models II," Journal of Derivatives, Winter 1994, pp 37-48 John Hull and Alan White, "The pricing of options on interest rate caps and floors using the Hull-White model" in Advanced Strategies in Financial Risk Management, Chapter 4, pp 59-67. John Hull and Alan White, "One factor interest rate models and the valuation of interest rate derivative securities," Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol 28, No 2, (June 1993) pp 235-254 John Hull and Alan White, "Pricing interest-rate derivative securities", The Review of Financial Studies, Vol 3, No. 4 (1990) pp. 573-592