移動平均

概述

移动平均（英語：moving average，縮寫：MA ），又稱滾動平均值、滑動平均，在統計學中是一種通過創建整個數據集中不同子集的一系列平均數來分析數據點的計算方法。它也是有限脈衝響應濾波器的一種。變化包括: 簡單移動平均、指數移動平均、加權移動平均，以及累積移動平均（描述如下）。 给定一个数列和一个固定子集大小，移动平均数的第一个元素是由数列的初始固定子集的平均值得到的。然后通过“向前移位”修改子集，即排除序列的第一个数，并在子集中包含下一个值。 移动平均通常与時間序列数据一起使用，以消除短期波动，突出长期趋势或周期。短期和长期之间的阈值取决于应用，移动平均的参数将相应地设置。例如，它通常用于对财务数据进行技术分析，如股票价格、收益率或交易量。它也用于经济学中研究国内生产总值、就业或其他宏观经济时间序列。数学上，移动平均是卷积的一种类型，因此它可以被看作是用于信号处理的低通滤波器的一个例子。当与非时间序列数据一起使用时，移动平均滤波器的频率分量更高，但与时间没有任何特定的联系，尽管通常暗含某种排序。简单地看，它可以看作是把数据变得更平滑。

數位訊號處理觀點下的移動平均

在數位訊號處理（DSP）領域中，移動平均可視為一種用來平滑離散時間訊號的低通濾波器。不同類型的移動平均在系統特性上，對應著不同的濾波器架構與頻率響應：

有限脈衝響應（FIR）與簡單移動平均（SMA）： 簡單移動平均在數學上等同於一個有限脈衝響應（FIR）濾波器。若將時間序列視為離散時間訊號

x [ n ]

{\displaystyle x[n]}

，一個長度為

N

{\displaystyle N}

的 SMA 其差分方程式為：

y [ n ] =

1 N

∑

k = 0

N − 1

x [ n − k ]

{\displaystyle y[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}x[n-k]}

在時域中，這相當於對訊號施加一個長度為

N

{\displaystyle N}

的矩形窗（Rectangular window）。其頻率響應呈現Sinc函數

sin ⁡ ( ω N

在美國線（OHLC）與價格特徵的進階應用

在金融市場的技術分析中，移動平均最常被應用於平滑美國線（OHLC chart）所記錄的價格波動。傳統上，移動平均的輸入訊號

x [ n ]

{\displaystyle x[n]}

多半僅採用美國線四項資訊中的「收盤價（Close）」。然而，單一收盤價容易受到市場尾盤的極端交易或人為高頻雜訊影響。 結合訊號預處理的觀念，進階的應用會提取美國線中的多維度資訊來重建輸入訊號。例如，將最高價（High）、最低價（Low）與收盤價（Close）取算術平均，計算出「典型價格（Typical Price）」：

T y p i c a l

P r i c e =

H i g h + L o w + C l o s e

3

{\displaystyle Typical\ Price={\frac {High+Low+Close}{3}}}

將典型價格或其他加權價格（如包含開盤價的

O p e n + H i g h + L o w + C l o s e

4

{\displaystyle {\frac {Open+High+Low+Close}{4}}}

）作為離散訊號再輸入至 SMA 或 EMA 濾波器中，相當於在進行時間軸的低通濾波前，先進行了振幅軸的降噪處理。這種做法能更客觀地反映該取樣區間的真實價格重心，有效降低單一數據點極端波動對移動平均線造成的誤導。

简单移动平均

在金融应用中，一个简单移动平均（SMA）是以前 n 个数据的未加权平均数。然而，在科学和工程中，平均值通常取自中心值两边相等数量的数据。这样可以确保平均值的变化与数据的变化一致，而不是随时间变化。

例如，对于 n 天的收盘价样本，简单等权重移动平均是前 n 天收盘价的平均值。如果收盘价为

p

M

,

p

M − 1

, … ,

p

M − ( n − 1 )

{\displaystyle p_{M},p_{M-1},\dots ,p_{M-(n-1)}}

，则公式为

p ¯

SM

=

p

M

+

p

M − 1

指數移動平均

指數移動平均（英語：exponential moving average，EMA或EWMA）是以指數式遞減加權的移動平均。 各數值的加權影響力隨時間而指數式遞減，越近期的數據加權影響力越重，但較舊的數據也給予一定的加權值。右圖是一例子。 加權的程度以常數 α 決定，α 數值介乎 0 至 1。α 也可用天數N來代表：

α =

2

N + 1

{\displaystyle \alpha ={2 \over {N+1}}}

，所以，N=19天，代表 α=0.1。 設時間 t 的實際數值為 Yt，而時間t的EMA則為St；時間 t-1 的EMA則為 St-1，計算時間 t≥2 是方程式為：

S

t

= α ×

Y

t

+ ( 1 − α ) ×

S

t − 1

{\displaystyle S_{t}=\alpha \times Y_{t}+(1-\alpha )\times S_{t-1}}

設今日（t）價格為

p

t

{\displaystyle p_{t}}

，則今日（t）的

加權移動平均

加權移動平均（英語：weighted moving average，WMA）指計算平均值時將個別數據乘以不同數值，在技術分析中，n日WMA的最近期一個數值乘以n、次近的乘以n-1，如此類推，一直到0：

W M

A

M

=

n

p

M

+ ( n − 1 )

p

M − 1

+ ⋯ + 2

p

M − n + 2

+

p

M − n + 1

n + ( n − 1 ) + ⋯ + 2 + 1

{\displaystyle WMA_{M}={np_{M}+(n-1)p_{M-1}+\cdots +2p_{M-n+2}+p_{M-n+1} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}}

由於

累积移动平均

在累积移动平均（CMA）中，数据以有序数据流的形式到达，用户希望获得直到当前数据点为止的所有数据的平均值。例如，投资者可能想要特定股票直到当前时间的所有股票交易的平均价格。随着每笔新交易的发生，可以使用累计平均值（通常是直到当前时间的 n 个值序列

x

1

, … ,

x

n

{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}

的均等加权平均值）计算该点之前所有交易的平均交易价格：

CMA

n

=

x

1

+ ⋯ +

x

n

n

.

{\displaystyle {\text{CMA}}_{n}={{x_{1}+\cdots +x_{n}} \over n}\,.}

计算此问题的暴力方法是存储所有数据，并计算总和，并在每次新数据点到来时除以数据点数。但其实，可以使用下面地公式，在拿到新值

其他加權

有時計算移動平均時會加入其他變數，例如，「交易量加權」會加入交易量的因素。

內部連結

技術分析 K線 布林帶（BBands） 隨機指標（KD） 相對強弱指數（RSI） 指數平滑異同移動平均線（MACD） 乖離率（BIAS）

外部連結

Investopedia的介紹 （页面存档备份，存于互联网档案馆）