金錢的時間價值

概述

金融學中，金錢的時間價值、貨幣的時間價值或資金的時間價值（英語：time value of money，縮寫為 TVM）是一種表示「金錢價值會隨時間改變」的重要基本概念。在金融市場裡，資金即是可供交易的商品，以「利率」為價格行販售。當借款者與貸放者在利率上達成協議時，借貸契約則成立。同理，就整個市場而言，當所有資金供給者與需求者達成價格上的妥協後，均衡利率即被決定。而此利率的出現便會導致「今天擁有得的錢，在未來可以產生額外的價值」。而這種今日的一塊錢會比明日的一塊錢還要值錢，而明日的一塊錢又更會比後日的一塊錢還要更值錢的現象，就是金錢的時間價值。一筆資金，在現在的價值稱為現值（present value），未來的價值稱為終值（future value）。終值也就是複利的結果。複利是指定期以本利和計算一次利息的計息方式。

終值與現值

以儲蓄為例，若今一人將他的一萬元存入銀行內為期一年的定期存款帳戶，利率為8%，每年複利一次，則該人在一年後可以提領的金額將會是10,000×（1+8%）=10,800元 。此一萬元生出了800元的利息，經濟學上來說，此人一萬元存款的終值在一年後就是10,800元。將以上的計算過程一般化後，即可得

(

F

/

P

)

=

( 1 + r

)

n

{\displaystyle \left(F/P\right)\ =\ (1+r)^{n}}

其中P是現值，F是終值，r是每期必要報酬率（required rate of return per time period），n是期數（number of time periods）。若投資期間不變，利率越高，終值越高；在相同的利率水準下，投資期越長，息票發給次數較多，終值也會越高。如果將此式等號兩側取倒數，則可以得到：

(

P

/

F

)

=

1

( 1 + r

年金的時間價值

年金（annuity）是指在一個特定時間內，定期支付的等額現金流量，也就是以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金的一種。年金隨著支付時間的不同，有不同名稱。其中，開始支付的時間點始於支付約定成立後的第一期期末者，稱為普通年金（annuity-immediate或ordinary annuity）；而若支付始於支付約定成立後的第一期期初者，稱為期初年金（annuity-due或due annuity）。要注意的是，期初年金由於幾乎是在約定成立時就已經支付了第一次年金，因此總括來說，若結束的時點相同，則計算上利期初年金的複利會比普通年金還要多一次。 由於年金是一連串的定期、等額現金支付，因此年金的「年金終值」即為這一連串等額現金支付的個別終值總和。若有一個人每年都支付1,000元年金，每年年尾付款（普通年金），持續五年，利率10%，則可計算得該年金其終值會是：1,000×（1+10%）4 +1,000×（1+10%）3+1,000×（1+10%）2+1,000×（1+10%）+1,000=6,105.1元。而若改為期初年金，在每年年頭付款，則由於在每期期初即支付了1,000元，因此在複利過程中，每期期初年金的終值都較普通年金多複利了一次，其終值將會為1,000×（1+10%）5+1,000×（1+10%）4+1,000×（1+10%）3+1,000×（1+10%）2+1,000×（1+10%）=6,715.6元。將以上算式一般化，透過等比級數公式，則可以得到第 n 個時間點為計算時點之普通年金終值為：

F V ( A )

=

A ⋅

(

1 + i

)

n

− 1

i

= F I V F A ( i , n )

{\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}=FIVFA(i,n)}

其中，A是每期固定支付金額，i為利率水準；FIVFA為年金終值利率因子，可以由查表所得。而期初年金因為多複利一次，故其年金終值為：

F V ( A D )

=

A ⋅

(

1 + i

)

n

永續年金

世界上大多數的年金都會有一定的支付期間，然而有一種年金的支付是沒有期限的，此種年金稱為永續年金。由於永續年金沒有限，計算其終值可視為無意義。真正有價值者應為其之現值。當利率小於1時，也就是在絕大多數情況下，可由等比級數公式導出一個普通永續年金的現值為：

P V ( A )

=

P M T

i

{\displaystyle PV(A)\,={\frac {PMT}{i}}}

其中，i為利率，PMT為每期支付的金額。永續年金的現值即為所有個別PMT的現值總和；然而由於是無限期支付，因此在符合收斂的條件下，無窮等比級數的應用才能得以實現。期初永續年金的現值則為普通永續年金的現值再乘上（1+i）倍。

来源

書籍

参见

财务管理