헤스톤 모형

개요

금융에서 스티븐 L. 헤스톤(Steven L. Heston)의 이름을 딴 헤스톤 모형은 기초자산의 변동성 진화를 설명하는 수학적 모형입니다. 이는 확률적 변동성 모형으로, 자산의 변동성이 상수가 아니며 결정론적이지도 않고 무작위 과정을 따른다고 가정합니다.

수학적 공식

헤스톤 모형은 자산 가격인 St가 다음 확률 과정에 의해 결정된다고 가정합니다.

d

S

t

= μ

S

t

d t + ν

t

S

t

d

W

t

S

,

{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S},}

변동성

ν

위험중립 측정

파생상품 가격 결정에서 기본적인 개념은 위험중립 측정이며, 이는 위의 문서에서 더 자세히 설명됩니다. 우리의 목적을 위해서는 다음 사항을 주목하는 것으로 충분합니다.

지불금액이 하나 이상의 기초자산의 함수인 파생상품의 가격을 책정하기 위해, 우리는 위험중립 측정 하에서 할인된 지불금액의 기댓값을 평가합니다. 등가 마틴게일 측정이라고도 알려진 위험중립 측정은 현실 세계의 측정과 동등하고 차익거래가 없는 측정입니다. 이러한 측정 하에서는 각 기초자산의 할인된 가격이 마틴게일입니다. 기르사노프 정리를 참조하십시오. 블랙-숄즈 및 헤스톤 프레임워크(여기서 여과(filtration)는 선형 독립적인 위너 과정 집합만으로 생성됨)에서는 각 위너 과정에 표류(drift)를 추가하여 매우 느슨한 의미로 모든 등가 측정을 설명할 수 있습니다. 위에서 설명한 표류에 특정 값을 선택함으로써 차익거래 없는 조건을 충족하는 등가 측정을 얻을 수 있습니다.

다음이 있는 일반적인 상황을 고려해 보십시오.

n

{\displaystyle n}

기초 자산 및 선형 독립적인 집합

m

{\displaystyle m}

위너 과정. 등가 측정의 집합은 가능한 표류의 공간인 Rm과 동형입니다. 등가 마틴게일 측정의 집합이 Rm에 임베디드된 다양체

M

{\displaystyle M}

과 동형이라고 가정해 보십시오. 처음에는 자산이 없고

M

{\displaystyle M}

이 Rm과 동형인 상황을 고려합니다. 이제 각 기초 자산이 예상 할인 과정이 상수(즉, 초기값)와 같아야 하므로 등가 측정 집합에 대한 제약을 제공하는 것으로 간주합니다. 한 번에 하나의 자산을 추가함으로써 각 추가 제약이

M

{\displaystyle M}

의 차원을 1만큼 줄이는 것으로 간주할 수 있습니다. 따라서 위에서 설명한 일반적인 상황에서 등가 마틴게일 측정 집합의 차원은 다음과 같습니다.

m − n

{\displaystyle m-n}

. 블랙-숄즈 모형에서는 하나의 자산과 하나의 위너 과정이 있습니다. 등가 마틴게일 측정 집합의 차원은 0입니다. 따라서 할인된 자산에 대해 단일 표류 값, 즉 단일 위험중립 측정이 존재함을 보일 수 있습니다.

구현

옵션 가격 평가에 푸리에 변환을 사용하는 방법은 카르(Carr)와 마단(Madan)이 보였습니다. 헤스톤 모형 구현에 대한 논의는 칼(Kahl)과 예켈(Jäckel)이 제공했습니다. 시간에 따라 변하는 헤스톤 모형에 대한 폐쇄형 옵션 가격의 유도는 벤하무(Benhamou) 등이 발표했습니다. 더블 헤스톤 모형에 대한 폐쇄형 옵션 가격의 유도는 크리스토퍼센(Christoffersen) 등과 고티에(Gauthier) 및 포사마이(Possamai)가 제시했습니다. 확률적 이자율을 가진 헤스톤 모형의 확장은 그제라크(Grzelak)와 오스테를레(Oosterlee)가 제공했습니다. 매개변수에 대해 수치적으로 연속적이면서 쉽게 미분 가능한 헤스톤 모형의 특성 함수 표현은 추(Cui) 등이 도입했습니다. 로컬 확률적 변동성 맥락에서의 모형 사용은 반 데르 베이스트(van der Weijst)가 제공했습니다. 쿠리친(Kouritzin)은 변동성 측면에서 헤스톤 가격 방정식의 명시적 해를 개발했습니다. 이는 변동성 방정식에 대해 알려진 약한 해와 기르사노프 정리를 결합하여 헤스톤 모형의 명시적 약한 해를 도출할 수 있습니다. 이러한 해는 효율적인 시뮬레이션에 유용합니다. 고정밀 기준 가격은 앨런 루이스(Alan Lewis)의 블로그 게시물에서 확인할 수 있습니다. 헤스톤 모형을 기반으로 한 변동성 표면의 알려진 매개변수화는 거의 없습니다(Schonbusher, SVI 및 gSVI).

보정

헤스톤 모형의 보정은 종종 최소 자승 문제로 공식화되며, 목적 함수는 시장에서 관측된 가격과 모형에서 계산된 가격 간의 제곱 오차 차이를 최소화하는 것입니다. 가격은 일반적으로 바닐라 옵션의 가격입니다. 때로는 기욤(Guillaume)과 스하우텐스(Schoutens)에서처럼 모형이 분산 스왑 기간 구조에 맞춰 보정되기도 합니다. 또 다른 접근 방식은 선도 스마일을 포착하기 위해 선도 시작 옵션이나 배리어 옵션도 포함하는 것입니다. 헤스톤 모형에 따라 바닐라 옵션의 가격은 분석적으로 주어지지만, 적분을 계산하기 위해서는 수치적 방법이 필요합니다. 르 플로슈(Le Floc'h)는 적용된 다양한 구적법을 요약하고 효율적인 적응형 필론 구적법을 제안했습니다. 보정에는 일반적으로 모형 매개변수에 대한 목적 함수의 기울기가 필요합니다. 이는 분석적 기울기보다 정확도가 떨어지고 효율성이 낮으며 우아하지 않음에도 불구하고 일반적으로 유한 차분 근사법으로 계산되었습니다. 왜냐하면 후자에 대한 통찰력 있는 표현은 2017년에 추(Cui) 등이 특성 함수의 새로운 표현을 도입했을 때 비로소 가능해졌기 때문입니다. 또 다른 가능성은 자동 미분에 의존하는 것입니다. 예를 들어, 알고리즘 미분의 접선 모드는 이중 수를 사용하여 간단한 방식으로 적용될 수 있습니다.

참고 항목

확률적 변동성 위험중립 측정(등가 마틴게일 측정의 다른 이름) 기르사노프 정리 마틴게일 (확률론) SABR 변동성 모형 칼(Kahl), 예켈(Jäckel), 로드(Lord)가 구현한 MATLAB 코드

참고 문헌

담가니, 바바크 마다비; 코스, 앤드루 (2013). "약한 스마일로 차익거래 제거: 스큐 위험에 대한 응용". 윌모트. 2013 (1): 40–49. doi:10.1002/wilm.10201. S2CID 154646708. 마리오, 델에라 (2014). "기하학적 변환을 통한 헤스톤 편미분 방정식에 대한 폐쇄형 해". 4 (6): 793–807. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)